選舉的數學理論

今天IC975「聽見地球的聲音」邀請到中央大學數學系的單維彰教授，談論的科普主題是：選舉的數學理論。以數學理論的角度，去分析選舉程序的公平性。結論是：不同的選舉程序，會造成不同的選舉結果；只要候選的對象超過兩個，就幾乎不存在「公道」的選舉程序。

看到以上這段Opening，是不是覺得有些無聊了？我一開始也這麼以為，但是聽了他說的故事後，覺得數學也能是很有趣的...

以下故事節錄自原文：關於選舉的數學理論 假如 15 位同學負責籌辦一場同樂會，因為經費和人力的限制，他們決定只提供一種冰飲。至於要提供哪一種，則有三種意見僵持不下：冰紅茶 (用 T 表示)、啤酒 (用 B 表示) 還是雞尾酒 (用 C 表示)。於是他們決定要用最民主的方式解決紛爭：不記名投票。大家不假思索地舉行了最常見的選舉模式：一人一票、投給自己認為最適當的飲料、以獲得最高票數的飲料獲勝。開票的結果是 T:B:C = 6:5:4，冰紅茶獲勝。 也許那個籌備會議可以繼續進行下一項討論了。但是，某個人開始咕噥，另一個人聽到了就大聲一點兒附和，第三個人也開始埋怨，一股不安的情緒突然就爆發了。投票給冰紅茶的人要其他人表現民主風度：「少數服從多數嘛」。可是，有人說：「畢竟有 9 個人不喜歡冰紅茶啊」。在騷動中，情緒似乎有點失控，許多人七嘴八舌地嚷嚷著，說他們『最』不喜歡冰紅茶。 好吧，大家都是好朋友嘛，別為了這種小事傷了和氣。有人提議說他聽說過另一種投票方法，比較『公平』，那就是所謂的「兩輪制」：把第一輪投票結果中最好的兩名取出來，所有人對這兩個候選飲料再投一次票。如果能夠幫助大家和和氣氣地達成共識，再投一次票也無妨，於是他們就做了。第二輪的投票結果，竟然就是 B:T = 9:6，啤酒獲勝。 這樣的結果真的解決歧見了嗎？很不幸地，不但沒有，他們之間變得更針鋒相對！看起來，喜歡喝茶的人一票也沒有動搖，但是那些失去了雞尾酒選項的人全部改去支持啤酒了。贊成喝茶的人難掩氣憤之情，說你們這些想要喝酒的人聯合起來欺負我們。剛才他們至少還會熱烈爭辯，現在情況更不妙：他們彼此不說話了。 為了打破那空氣中令人尷尬的沈默，又有一個人小心地提議，請大家拋棄成見，再來一次。這一次，他提議一個「最科學」的作法：請每個人給每種飲料一個分數，最喜歡的給兩分，次喜歡的給一分，不喜歡的不給分。然後計算每種飲料得到的分數總和，最高分的飲料獲勝。這聽起來畢竟是一個新奇的作法，所以大家雖然意興闌珊，還是勉強同意了。 15 個人很小心地在選票上填寫了分數，計算的結果是 C:B:T = 19:14:12，雞尾酒獲勝。 有人哀號「怎麼會三次結果都不一樣？」，有人大叫「我不玩了」。為什麼三次投票得到三種結果？是有人搞鬼嗎？有一些人要和另外一些人作對嗎？有人經常改變主意做牆頭草嗎？總歸來說，是這 15 個人不夠理性或是民主素養不足嗎？選舉理論想要闡述的是：可能這並不是那 15 個人的錯，而是不同的選舉程序會造成不同的結果。

好玩嗎？我常在想，如果老師都能用這種生動有趣的方式教學，絕對能提高學生的學習興趣與動機。以後有小朋友的話，我一定會為他準備類似有趣的科普教材，讓他自然而然地樂在學習的過程中。